G-R雜訊的PSD

在隨機過程與電子雜訊分析中，G-R noise（generation-recombination noise，產生-復合雜訊）是一種由於半導體中載子（如電子或電洞）在能帶與陷阱能階（traps）之間隨機產生與復合，導致載流子總數波動所產生的雜訊。

以下使用維納-辛欽定理 (Wiener-Khinchin theorem)，從自相關函數（autocorrelation function）推導出其功率譜密度（power spectral density, PSD）。

一. 數學推導過程

已知 G-R noise 的自相關函數可以被表示為[註1]：

$$R_x(s) = \langle |x|^2 \rangle e^{-|s|/\tau}$$

其中：

  • $\langle |x|^2 \rangle$ 為波動的變異數（variance）。

  • $\tau$ 為載流子的平均壽命（Relaxation time / Lifetime）。

根據維納-辛欽定理，平穩隨機過程的功率譜密度 $S_x(f)$ 是其自相關函數 $R_x(s)$ 的傅立葉轉換：

$$C_x(f) = \int_{-\infty}^{\infty} R_x(s) e^{-j 2\pi f s} ds$$

將 $R_x(s)$ 代入上式：

$$C_x(f) = \int_{-\infty}^{\infty} \langle |x|^2 \rangle e^{-|s|/\tau} e^{-j 2\pi f s} ds$$

由於 $e^{-|s|/\tau}$ 是偶函數，且利用歐拉公式，虛部積分會抵消，我們只需要考慮實部（餘弦轉換）：

$$C_x(f) = 2 \int_{0}^{\infty} \langle |x|^2 \rangle e^{-s/\tau} \cos(2\pi f s) ds$$

解此積分[註2]：

$$C_x(f) = 2 \langle |x|^2 \rangle \left[ \frac{1/\tau}{(1/\tau)^2 + (2\pi f)^2} \right]$$

整理後可得到 G-R noise 的標準 PSD 公式：

$$C_x(f) = \frac{2 \langle |x|^2 \rangle \tau}{1 + (2\pi f \tau)^2}$$

二. PSD 的物理特性

G-R noise 的譜密度具有典型的 Lorentzian spectrum（勞倫茲譜） 特徵：

  • 低頻區 ($f \ll 1/2\pi\tau$)：

    當頻率很低時，$2\pi f \tau \approx 0$，譜密度接近常數：

    $$S_x(f) \approx 2 \langle |x|^2 \rangle \tau$$

    這部分表現得像「白雜訊」（White noise）。

  • 轉折頻率 (corner frequency)：

    當 $f = 1/2\pi\tau$ 時，分母變為 2，能量下降至低頻值的一半（-3dB 點）。

  • 高頻區 ($f \gg 1/2\pi\tau$)：

    當頻率很高時，$1$ 可以忽略不計，譜密度隨頻率的平方成反比：

    $$S_x(f) \propto \frac{1}{f^2}$$

    這表示在高頻下，雜訊以每倍頻 6dB (或每十倍頻 20dB) 的速度衰減。

三. 總結

G-R noise 的 PSD 公式說明了雜訊能量如何隨頻率分布。其核心取決於載子壽命 $\tau$：壽命越長，低頻雜訊越強，但頻寬越窄；壽命越短，雜訊分布越廣但強度較低。這在分析半導體元件（如光電探測器或電晶體）的低頻特性時至關重要。


💥💥💥💥💥

[註1]：

https://rftamt2.blogspot.com/2026/01/langevin-equation.html

💥💥💥💥💥

[註2]：

關於證明，我們可以利用歐拉公式 $\cos(bs) = \text{Re}\{e^{jbs}\}$：

$$I =  \int_{0}^{\infty} e^{-as} \cos(bs) ds = \text{Re} \left\{ \int_{0}^{\infty} e^{-as} e^{jbs} ds \right\} = \text{Re} \left\{ \int_{0}^{\infty} e^{-(a-jb)s} ds \right\}$$

這個積分的結果：

$$I = \text{Re} \left[ \frac{-1}{a-jb} e^{-(a-jb)s} \right]_{0}^{\infty} = \text{Re} \left[ 0 - \frac{-1}{a-jb} \right] = \text{Re} \left[ \frac{1}{a-jb} \right]$$

將分母共軛化：

$$\frac{1}{a-jb} \cdot \frac{a+jb}{a+jb} = \frac{a+jb}{a^2 + b^2} \implies I = \frac{a}{a^2 + b^2}$$

留言

張貼留言

這個網誌中的熱門文章

二項、卜瓦松PMF與高斯PDF

圖片
在統計學的世界裡，三個最核心的數學模型： 二項分佈 、 卜瓦 松分佈 與 高斯分佈 。它們之間並非孤立，而是一場關於「極限」的華麗演變。 1. 二項分佈 (binomial distribution)：發生的計數 一切的起點是 伯努利試驗 （只有發生/未發生兩種結果）。當你重複進行 $n$ 次獨立的實驗，在每次發生與未發生的機率分別固定為 $p$ 和 $q$ ( $= 1-p$ ) 的情形下，則總發生次數為  $k$  的機率 $P(k)$ 所服從的規律就是「二項分佈」機率質量函數（PMF，probability mass function）： $$P( k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$$ 其中 [註1]： 期望值  $\mu = \langle k \rangle = np$ 變異數  $\sigma^2 = Var(k) = npq$ 2. 卜瓦松分佈 (Poisson distribution)：加入時間的框架 若我們將 二項分佈限定 在特定時間  $T$ 或空間內，當 試驗次數 $n$ 趨於無窮大且假設發生率 $p$ 非常小，但兩者的乘積或期望值 $\mu = np$（發生次數的期望值， 等於平均發生率 $\lambda$  乘以時間   $T$ ）保持穩定時，二項分佈就會演變成卜瓦 松分佈，對應的 PMF[註2]如下： $$P(k) = \frac{\mu^k e^{-\mu}}{k!}$$ 它是描述「特定時間或空間內，隨機事件發生次數機率」的最佳工具。 3. 高斯分佈 (Gaussian distribution)： 試驗次數夠大 當 試驗次數  $n$  趨於無窮大時，二項分佈將變成高斯分佈或常態分佈（normal distribution），機率 的數學描述必須如下改由連續的 機率 密度函數 （PDF，probability density function）[註3]來表示： $$f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}$$ 特點 ：由期望值 ( $\mu$ ) 和標準差 ( $\s...
閱讀完整內容

變異數等於「平方的期望」減去「期望的平方」

在處理隨機變數時，我們最常需要計算的統計參數之一就是 變異數（variance） 。雖然定義式很直觀，但在實際計算時，我們更傾向於使用「平方的期望值減去期望值的平方」。 以下將證明這個公式： $$Var(X) = \langle X^2 \rangle - \langle X \rangle^2$$ （ 變異數 = 「平方的期望」減去「期望的平方」 ） 1. 準備工作：核心概念 在開始推導前，我們要先記住期望值運算的兩個基本特性： 線性特質 ：項與項之間可以拆解計算。 常數特質 ：一旦取了期望值， $\langle X \rangle$ 就變成了一個固定的 常數 ，不再是隨機變數。 2. 證明步驟 我們從變異數的原始定義出發：變異數是變數與平均值（期望值）之間距離平方的平均。 1) 寫出定義式 $$Var(X) = \langle (X - \langle X \rangle)^2 \rangle$$ 2) 展開括號內的平方項 利用代數公式 $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$，我們可以將內部展開： $$Var(X) = \langle X^2 - 2X \cdot \langle X \rangle + \langle X \rangle^2 \rangle$$ 3) 利用線性性質拆解 將期望值符號 $\langle \rangle$ 分配到括號內的每一項： $$Var(X) = \langle X^2 \rangle - \langle 2X \cdot \langle X \rangle \rangle + \langle \langle X \rangle^2 \rangle$$ 4) 處理常數項（關鍵步驟！） 第二項：因為 $2$ 和 $\langle X \rangle$ 都是常數，可以提到符號外面。 $$\langle 2X \cdot \langle X \rangle \rangle = 2 \cdot \langle X \rangle \cdot \langle X \rangle = 2\langle X \rangle^2$$ 第三項：由於 $\langle X \rangle^2$ 本身已經是常數，常數的期望值就是它自己。 $$\langle \langle X \rangle^2 \rangle = \langl...
閱讀完整內容

坎貝爾定理 (Campbell's theorem)

在隨機過程與雜訊分析中，坎貝爾定理是將「微觀隨機事件」轉化為「宏觀統計特性」最強大的工具。本文將透過機率論與微積分，完整推導其期望值、自相關函數與變異數公式。 一. 系統模型定義 假設有一個隨機過程 $X(t)$ ，它是無數個形狀相同的隨機脈波函數 $h(t)$ 的疊加： $$X(t) = \sum_{k=1}^{N} h(t - t_k)$$ 其中： $t_k$ 是第 $k$ 個脈波發生的隨機時間點。 在觀測時間 $T$ 內，事件發生的總次數 $N$ 是一個隨機變數，若服從 卜瓦松分佈 ，則  $\langle N \rangle = \mu = \lambda T$ 。 在給定 $N$ 的情況下，每個 $t_k$ 獨立且均勻地分佈在 $[0, T]$ 區間內。 二. 期望值 $\langle X(t) \rangle$ 的證明 我們利用全期望值定律，先計算給定 $N$ 次事件中各次的期望值，再計入總次數  $N$  的期望值。 Step 1: 單個脈波在隨機位置出現的期望值 假設 $t_k$ 在 $[-T/2, T/2]$ 隨機均勻分佈，在 $T \to \infty$ 且脈波能量有限的情形下，任意單個隨機脈波的期望值： $$\langle h(t-t_k) \rangle = \int_{-T/2}^{T/2} h(t-x) \cdot p(x) \, dx = \frac{1}{T} \int_{-\infty}^{\infty} h(t-x) \, dx = \frac{1}{T} \int_{-\infty}^{\infty} h(u) \, du$$ Step 2: 考慮總次數 $N$ 的期望值 $$\langle X(t) \rangle = \left \langle \sum_{k=1}^{N} h(t - t_k) \right \rangle = \langle N \rangle \cdot \langle h(t-t_k) \rangle = \langle N \rangle \cdot \left( \frac{1}{T} \int_{-\infty}^{\infty} h(x) \, dx \right)$$ Step 3: 代入 $N$ 的期望值：$\l...
閱讀完整內容