RF theory, analysis and measurement techniques (2)

在電子元件中，隨機電報訊號 （ RTS， random telegraph signal）、 爆發（burst）或爆米花（popcorn） noise 是一種由於單一陷阱（trap）對電荷的捕捉與釋放而產生的二元切換現象。 其數學特性是自共變異數主要由 指數分佈 的切換時間決定，這導致其在頻域表現為典型的勞倫茲頻譜  （   Lorentzian spectrum ） 。 要推導 RTS 雜訊的自相關函數，我們需要利用 馬可夫性質 (Markov property) 建立 主方程式 ，求出狀態轉移機率，最後計算期望值。 以下是完整的推導步驟： 一. 建立主方程式 假設 RTS 訊號在兩個狀態切換：狀態 0 (空) 與 狀態 1 (滿)。 定義其轉移速率（單位時間內的轉移機率）為： $0 \to 1$ ：捕捉速率 $\gamma_c = 1/\tau_c$ $1 \to 0$ ：釋放速率 $\gamma_e = 1/\tau_e$ 令 $P_1(t)$ 和 $P_0(t)$ 分別為在時間 $t$ 處於狀態 1 和 0 的機率。根據馬可夫性質，下一時刻的機率只取決於當前狀態。在極短時間 $\Delta t$ 內，$P_1(t)$ 的變化為： $$\Delta P_1 = P_0(t) \cdot (\gamma_c \Delta t) - P_1(t) \cdot (\gamma_e \Delta t)$$ 由於 $P_0(t) + P_1(t) = 1$，代入後得到微分方程： $$\frac{dP_1(t)}{dt} = \gamma_c (1 - P_1(t)) - \gamma_e P_1(t) = \gamma_c - (\gamma_c + \gamma_e) P_1(t)$$ 這就是該系統的主方程式，其解為： $$P_1(t) = P_1(\infty) + [P_1(0) - P_1(\infty)] e^{-t/\tau_0}$$ 其中 $\tau_0 = \frac{1}{\gamma_c + \gamma_e}$ 是系統的特徵時間常數，且 $ P_1(\infty) = \frac{\gamma_c }{ \gamma_c + \gamma_e}$。 二. 求條件轉移機率 (Conditional P...

在隨機過程與電子雜訊分析中， G-R noise（generation-recombination noise，產生-復合雜訊 ） 是一種由於半導體中載子（如電子或電洞）在能帶與陷阱能階（traps）之間隨機產生與復合，導致載流子總數波動所產生的雜訊。 以下使用 維納-辛欽定理 (Wiener-Khinchin theorem)， 從自相關函數（autocorrelation function）推導出其 功率譜密度（power spectral density, PSD）。 一. 數學推導過程 已知 G-R noise 的自相關函數可以被表示為[註1]： $$R_x(s) = \langle |x|^2 \rangle e^{-|s|/\tau}$$ 其中： $\langle |x|^2 \rangle$ 為波動的變異數（variance）。 $\tau$ 為載流子的平均壽命（Relaxation time / Lifetime）。 根據維納-辛欽定理，平穩隨機過程的功率譜密度  $S_x(f)$  是其自相關函數  $R_x(s)$  的傅立葉轉換： $$C_x(f) = \int_{-\infty}^{\infty} R_x(s) e^{-j 2\pi f s} ds$$ 將 $R_x(s)$ 代入上式： $$C_x(f) = \int_{-\infty}^{\infty} \langle |x|^2 \rangle e^{-|s|/\tau} e^{-j 2\pi f s} ds$$ 由於 $e^{-|s|/\tau}$ 是偶函數，且利用歐拉公式，虛部積分會抵消，我們只需要考慮實部（餘弦轉換）： $$C_x(f) = 2 \int_{0}^{\infty} \langle |x|^2 \rangle e^{-s/\tau} \cos(2\pi f s) ds$$ 解此積分[註2]： $$C_x(f) = 2 \langle |x|^2 \rangle \left[ \frac{1/\tau}{(1/\tau)^2 + (2\pi f)^2} \right]$$ 整理後可得到 G-R noise 的標準 PSD 公式： $$C_x(f) = \frac{2 \langle |x|^2 \rangle \tau}{1 + ...

在物理學與隨機過程的研究中， 朗之萬方程（Langevin equation） 是一個極具魅力的存在。它不僅描述了懸浮微粒在流體中的布朗運動，更是電子工程中處理 產生-復合雜訊（G-R noise） 的數學核心。 一. 什麼是朗之萬方程？ 想像一個在液體中受力跳動的彈簧，或是半導體中不斷波動的電子數量。朗之萬方程將系統的變化拆解為兩個部分： 確定的回歸力 與 隨機的推動力 。 其標準形式如下： $$\frac{dx(t)}{dt} = -\frac{x(t)}{\tau} + F(t)$$ $x(t)$ ：系統偏離平衡態的分量（例如 $\Delta N$ ）。 $-x(t)/\tau$ ： 耗散項（dissipation） 。 $\tau$ 是鬆弛時間，代表系統想回到平衡態的趨勢。 $F(t)$ ： 隨機力（Langevin force） 。它代表微觀環境產生的衝擊。其特點是平均值為零 $\langle F(t) \rangle = 0$ ，且不同時間點的衝擊互不相關。 二. 方程的通解：過去與未來的交織 要解這個一階線性微分方程，我們使用積分因子 $e^{t/\tau}$ 。經過推導，我們可以得到 $t+s$ 時刻的狀態解[註1]： $$x(t+s) = x(t)e^{-s/\tau} + \int_{t}^{t+s} F(t') e^{-(t+s-t')/\tau} dt'$$ 這個解告訴我們，未來的狀態由兩部分決定： 記憶部分 ：現在的狀態 $x(t)$ 會隨著時間指數衰減。 新擾動部分 ：從 $t$ 到 $t+s$ 這段時間內，所有新發生的隨機衝擊 $F(t')$ 的累積效果。 三. 自相關函數 (autocorrelation) 的推導 自相關函數 $R_x(s) = \langle x(t)x^*(t-s) \rangle$ 衡量的是系統在時間差 $s$ 之下，前後狀態的關聯程度。為了推導這個函數，我們將結合 朗之萬方程的通解 與 隨機過程的平穩性 。 Step 1: 代入通解 考慮 $s > 0$ 的情況。根據微分方程，我們將「現在時刻 $t$」的狀態 $x(t)$，表示為「過去時刻 $t-s$」的狀態與這段時間內「隨機衝擊」的累積： $$x(t) = x(t-s)e^{-s/\tau} + \...

以下將利用 坎貝爾定理 (Campbell's Theorem) ，證明 散粒雜訊 (Shot Noise) 的PSD 。 透過坎貝爾定理，我們不需要複雜的量子力學，就能從「電子是顆粒化的」與「到達時間是隨機的（卜瓦松過程）」這兩個簡單假設，推導出散粒雜訊的功率。 一. 物理模型：電子流的隨機性 想像電流 $I(t)$ 是由一顆顆隨機到達的電子所組成。每個電子的電荷為 $q$ ，當它通過觀測點時，會產生一個微小的電流脈波 $h(t)$ 。 根據物理連續性，單個電子產生的總電荷必須等於 $q$： $$\int_{-\infty}^{\infty} h(t) \, dt = q$$ 因此，總電流可以寫成： $$I(t) = \sum_{k=1}^{N} h(t - t_k)$$ 這完全符合我們在「坎貝爾定理」中定義的系統模型。 二. 平均電流與直流成分 根據坎貝爾定理的「期望值公式」，平均電流 $\langle I \rangle$（即直流電流 $I_{DC}$）為： $$I_{DC} = \langle I(t) \rangle = \lambda \int_{-\infty}^{\infty} h(t) \, dt = \lambda q$$ 其中 $\lambda$ 是單位時間內通過的電子數。 三、 散粒雜訊的功率譜密度 (PSD) 我們關心的是電流波動 $I_n(t) = I(t) - I_{DC}$ 的頻譜特性。 1. 自相關函數的回顧 由坎貝爾定理可知，波動的自相關函數 $R_{nn}(\tau)$ 為： $$R_{nn}(\tau) = \lambda \int_{-\infty}^{\infty} h(t) h^*(t-\tau) \, dt$$ 觀察這個公式，你會發現 $R_{nn}(\tau)$ 其實就是脈波函數 $h(t)$ 與其共軛反轉函數 $h^*(-t)$ 的卷積 (Convolution) 乘以 $\lambda$。 2. 維納-辛欽定理 (Wiener–Khinchin Theorem) 功率譜密度 $C_{shot}(f)$ 是自相關函數的傅立葉轉換。根據卷積定理： $$C_{shot}(f) = \mathcal{F} \{ R_{nn}(\tau) \} = \lambda \cdot |H(f)|^2$$ 其中 $H(...

  維納-辛欽定理證明：時間平均版本 一. 定義與起點 假設我們有一個平穩隨機過程  $x(t)$ 。 時均自相關函數 (time averaged ACF)： $$\hat{R}_{xx}(\tau) = \overline{x(t)x^*(t-\tau)} = \lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} x(t)x^*(t-\tau) dt$$ 功率譜密度 (PSD)： 定義為截斷訊號 $x_T(t)$ 之能量譜的時間平均極限： $$\hat{C}_{xx}(f) = \lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \overline{|X_T(f)|^2}$$ 其中 $X_T(f)$ 是截斷訊號 $x_T(t)$ 的傅立葉轉換： $$X_T(f) = \int_{-\infty}^{\infty} x_T(t) e^{-j 2\pi f t} dt = \int_{0}^{T} x(t) e^{-j 2\pi f t} dt$$ 二、 證明過程 Step 1: 展開頻域能量項 數學上，訊號能量 $|X_T(f)|^2$ 可以寫成 $X_T(f)$ 與其共軛複數 $X_T^*(f)$ 的乘積： $$|X_T(f)|^2 = X_T(f) X_T^*(f) = \left( \int_0^T x(t_1) e^{-j 2\pi f t_1} dt_1 \right) \left( \int_0^T x^*(t_2) e^{j 2\pi f t_2} dt_2 \right)$$ Step 2: 合併雙重積分 將上述乘積寫成雙重積分的形式： $$|X_T(f)|^2 = \int_0^T \int_0^T x(t_1) x^*(t_2) e^{-j 2\pi f (t_1 - t_2)} dt_1 dt_2$$ Step 3: 取時間平均 (time average) 對兩邊取時間平均，由於積分與期望值算子可以互換，所以： $$\overline{ |X_T(f)|^2} = \int_0^T \int_0^T \overline{x(t_1) x^*(t_2)} e^{-j 2\pi f (t_1 - t_2)} dt_1 dt_2 = \int_0^T \int_0^T \...

維納-辛欽定理（Wiener–Khinchin theorem） 說 明一個平穩隨機過程（stationary process）的雙邊帶 功率譜密度PSD （power spectral density） ，正是其集體平均自相關函數ACF（autocorrelation function, ACF）的傅立葉轉換。 一. 定義與起點 假設我們有一個平穩隨機過程  $x(t)$ 。 集均自相關函數 (ensemble averaged ACF)： $$R_{xx}(\tau) = \langle x(t)x^*(t-\tau) \rangle$$ 功率譜密度 (PSD)： 定義為截斷訊號 $x_T(t)$ 之能量譜的時間平均極限： $$C_{xx}(f) = \lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \langle |X_T(f)|^2 \rangle$$ 其中 $X_T(f)$ 是截斷訊號 $x_T(t)$ 的傅立葉轉換： $$X_T(f) = \int_{-\infty}^{\infty} x_T(t) e^{-j 2\pi f t} dt = \int_{0}^{T} x(t) e^{-j 2\pi f t} dt$$ 二. 證明過程 我們要從 PSD 的定義出發，推導出它是 ACF 的傅立葉轉換。 Step 1: 展開頻域能量項 數學上，訊號能量 $|X_T(f)|^2$ 可以寫成 $X_T(f)$ 與其共軛複數 $X_T^*(f)$ 的乘積： $$|X_T(f)|^2 = X_T(f) \cdot X_T^*(f) = \left( \int_0^T x(t_1) e^{-j 2\pi f t_1} dt_1 \right) \left( \int_0^T x^*(t_2) e^{j 2\pi f t_2} dt_2 \right)$$ Step 2: 合併雙重積分 將上述乘積寫成雙重積分的形式： $$|X_T(f)|^2 = \int_0^T \int_0^T x(t_1) x^*(t_2) e^{-j 2\pi f (t_1 - t_2)} dt_1 dt_2$$ Step 3: 取集體平均 (ensemble average) 對兩邊取集體平均，由於積分與期望值算子可以互換，所以： $$\langle |X_T(f)|^2 ...