RTS雜訊的自相關函數與PSD

在電子元件中，隨機電報訊號（RTS，random telegraph signal）、爆發（burst）或爆米花（popcorn） noise 是一種由於單一陷阱（trap）對電荷的捕捉與釋放而產生的二元切換現象。

其數學特性是自共變異數主要由指數分佈的切換時間決定，這導致其在頻域表現為典型的勞倫茲頻譜 （ Lorentzian spectrum）。

要推導 RTS 雜訊的自相關函數，我們需要利用馬可夫性質 (Markov property) 建立主方程式，求出狀態轉移機率，最後計算期望值。

以下是完整的推導步驟：

一. 建立主方程式

假設 RTS 訊號在兩個狀態切換：狀態 0 (空) 與 狀態 1 (滿)。

定義其轉移速率（單位時間內的轉移機率）為：

  • $0 \to 1$：捕捉速率 $\gamma_c = 1/\tau_c$

  • $1 \to 0$：釋放速率 $\gamma_e = 1/\tau_e$

令 $P_1(t)$ 和 $P_0(t)$ 分別為在時間 $t$ 處於狀態 1 和 0 的機率。根據馬可夫性質，下一時刻的機率只取決於當前狀態。在極短時間 $\Delta t$ 內，$P_1(t)$ 的變化為：

$$\Delta P_1 = P_0(t) \cdot (\gamma_c \Delta t) - P_1(t) \cdot (\gamma_e \Delta t)$$

由於 $P_0(t) + P_1(t) = 1$，代入後得到微分方程：

$$\frac{dP_1(t)}{dt} = \gamma_c (1 - P_1(t)) - \gamma_e P_1(t) = \gamma_c - (\gamma_c + \gamma_e) P_1(t)$$

這就是該系統的主方程式，其解為：

$$P_1(t) = P_1(\infty) + [P_1(0) - P_1(\infty)] e^{-t/\tau_0}$$

其中 $\tau_0 = \frac{1}{\gamma_c + \gamma_e}$ 是系統的特徵時間常數，且 $ P_1(\infty) = \frac{\gamma_c }{ \gamma_c + \gamma_e}$。

二. 求條件轉移機率 (Conditional Probability)

由於 RTS 是廣義平穩 (WSS) 的過程，機率只與時間差 $\tau$ 相關，因此時間從  $t-\tau$ 到 $t$ 相當於時間從 0 到 $\tau$（$\ge 0 $）。 根據主方程式的解 $P_1(t)$，我們可知若初始時刻處於狀態 1 的機率為百分之百（ $P_1(0)  = 1$ ），則經過時間 $\tau$ 後狀態同為 1 的機率將變成為：

$$P(1, t \mid 1, t-\tau) = P_1(\infty) + [1 - P_1(\infty)] e^{-\tau/\tau_0}$$

將 $P_1(\infty) = \frac{\gamma_c}{\gamma_c + \gamma_e}$ 與 $1 - P_1(\infty) = \frac{\gamma_e}{\gamma_c + \gamma_e}$ 代入：

$$P(1, t \mid 1, t-\tau) = \frac{\gamma_c}{\gamma_c + \gamma_e} + \frac{\gamma_e}{\gamma_c + \gamma_e} e^{-\tau/\tau_0}$$

三. 推導自相關函數 $R_{xx}(\tau)$

根據定義 $R_{xx}(\tau) = \langle x(t)x^*(t-\tau) \rangle$。

在 RTS 物理模型中，訊號 $x$ 通常是實數（電流或電壓），故 $x^* = x$。設狀態 1 的幅值為 $A$，狀態 0 為 $0$：

1. 展開期望值運算[註1]

$$R_{xx}(\tau) = \langle x(t)x(t-\tau) \rangle = A^2 \cdot P(x(t)=A \cap x(t-\tau)=A)$$

2. 運用條件機率─貝氏定理

$$R_{xx}(\tau) = A^2 \cdot P(x(t-\tau)=A) \cdot P(1, t \mid 1, t-\tau) $$
其中 $P(x(t-\tau)=A)$ 是穩態機率，相當於 $P_1(\infty)$。代入相關表示式：

$$R_{xx}(\tau) = A^2 \cdot \left( \frac{\gamma_c}{\gamma_c + \gamma_e} \right) \cdot \left[ \frac{\gamma_c}{\gamma_c + \gamma_e} + \frac{\gamma_e}{\gamma_c + \gamma_e} e^{-\tau/\tau_0} \right]$$

整理得到：

$$R_{xx}(\tau) = \underbrace{\left( \frac{A\gamma_c}{\gamma_c + \gamma_e} \right)^2}_{\mu^2} + \underbrace{\frac{A^2 \gamma_c \gamma_e}{(\gamma_c + \gamma_e)^2} e^{-\tau/\tau_0}}_{\gamma_{xx}(\tau)}$$

以上為 $\tau \ge 0 $ 的情形，但考慮到  $R_{xx}(-\tau) = R_{xx}^*(\tau) $ ，所以可以得到以下對任意 $\tau$ 的結果：

$$R_{xx}(\tau) = \underbrace{\left( \frac{A\gamma_c}{\gamma_c + \gamma_e} \right)^2}_{\mu^2} + \underbrace{\frac{A^2 \gamma_c \gamma_e}{(\gamma_c + \gamma_e)^2} e^{-|\tau|/\tau_0}}_{\gamma_{xx}(\tau)}$$

四. 求功率譜密度 (PSD) — 維納-辛欽定理

根據維納-辛欽定理，不考慮直流項的功率譜密度 $C_{xx}(f)$ 是自共變數 $\gamma_{xx}$ 的傅立葉轉換，所以：

$$C_{xx}(f) = \mathcal{F} \{ \gamma_{xx}(\tau) \} = 2 \int_{0}^{\infty} \sigma^2 e^{-\tau/\tau_0} e^{-j2\pi f \tau} d\tau$$

其中 $\sigma^2 = \frac{A^2 \gamma_c \gamma_e}{(\gamma_c + \gamma_e)^2}$。進行積分運算：

$$C_{xx}(f) = \sigma^2 \cdot \frac{2\tau_0}{1 + (2\pi f \tau_0)^2}$$

代入 $\tau_0 = \frac{1}{\gamma_c + \gamma_e}$，得到完整的頻譜公式：

$$C_{xx}(f) = \frac{2 A^2 \gamma_c \gamma_e}{(\gamma_c + \gamma_e)^3} \cdot \frac{1}{1 + \left( \frac{2\pi f}{\gamma_c + \gamma_e} \right)^2}$$

因此，RTS 的 PSD 完全由捕捉與釋放速率和（$\gamma_c + \gamma_e$）決定，且呈現勞倫茲頻譜特性，亦即在低頻是平坦的，在高頻則以 $1/f^2$ 迅速衰減。

💥💥💥💥💥
[註1]：
在 RTS 雜訊模型中，訊號 $x(t)$ 只有兩個可能的取值（假設為 $0$ 與 $A$）。當我們計算乘積 $x(t) \cdot x(t-\tau)$ 時，會出現以下四種情況：

狀態 1：$x(t)$狀態 2：$x(t-\tau)$乘積 $x(t) \cdot x(t-\tau)$發生機率
$0$$0$$0$$P_{00}$
$0$$A$$0$$P_{0A}$
$A$$0$$0$$P_{A0}$
$A$$A$$A^2$$P_{AA}$
由上表可知，只有當 兩個時間點的訊號同時為 $A$ 時，乘積才不為零。因此，期望值（加權總和）可被簡化為：

$$\langle x(t)x(t-\tau) \rangle = (0 \cdot P_{00}) + (0 \cdot P_{0A}) + (0 \cdot P_{A0}) + (A^2 \cdot P_{AA}) = A^2 \cdot P_{AA}$$

這相當於：

$$R_{xx}(\tau) = \langle x(t)x(t-\tau) \rangle = A^2 \cdot P(x(t)=A \cap x(t-\tau)=A)$$

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