坎貝爾定理 (Campbell's theorem)

在隨機過程與雜訊分析中，坎貝爾定理是將「微觀隨機事件」轉化為「宏觀統計特性」最強大的工具。本文將透過機率論與微積分，完整推導其期望值、自相關函數與變異數公式。

一. 系統模型定義

假設有一個隨機過程 $X(t)$，它是無數個形狀相同的隨機脈波函數 $h(t)$ 的疊加：

$$X(t) = \sum_{k=1}^{N} h(t - t_k)$$
其中：

  • $t_k$ 是第 $k$ 個脈波發生的隨機時間點。

  • 在觀測時間 $T$ 內，事件發生的總次數 $N$ 是一個隨機變數，若服從卜瓦松分佈，則 $\langle N \rangle = \mu = \lambda T$。

  • 在給定 $N$ 的情況下，每個 $t_k$ 獨立且均勻地分佈在 $[0, T]$ 區間內。

二. 期望值 $\langle X(t) \rangle$ 的證明

我們利用全期望值定律，先計算給定 $N$ 次事件中各次的期望值，再計入總次數 $N$ 的期望值。

Step 1: 單個脈波在隨機位置出現的期望值

假設 $t_k$ 在 $[-T/2, T/2]$ 隨機均勻分佈，在 $T \to \infty$ 且脈波能量有限的情形下，任意單個隨機脈波的期望值：

$$\langle h(t-t_k) \rangle = \int_{-T/2}^{T/2} h(t-x) \cdot p(x) \, dx = \frac{1}{T} \int_{-\infty}^{\infty} h(t-x) \, dx = \frac{1}{T} \int_{-\infty}^{\infty} h(u) \, du$$

Step 2: 考慮總次數 $N$ 的期望值

$$\langle X(t) \rangle = \left \langle \sum_{k=1}^{N} h(t - t_k) \right \rangle = \langle N \rangle \cdot \langle h(t-t_k) \rangle = \langle N \rangle \cdot \left( \frac{1}{T} \int_{-\infty}^{\infty} h(x) \, dx \right)$$
Step 3: 代入 $N$ 的期望值：$\langle N \rangle = \lambda T$

$$\langle X(t) \rangle = (\lambda T) \cdot \left( \frac{1}{T} \int_{-\infty}^{\infty} h(x) \, dx \right) = \lambda \int_{-\infty}^{\infty} h(t) \, dt$$

由以上兩步驟，也可以得到：

$$\langle h(t-t_k) \rangle = \frac{1}{\langle N \rangle} \langle X(t) \rangle = \frac{1}{\lambda T} \langle X(t) \rangle$$

三. 自相關函數 $R_{nn}(\tau)$ 的證明

至此，雜訊或波動：
$$X_n(t) = X(t) - \langle X(t) \rangle = \sum_{k=1}^{N} h(t - t_k) - \langle X(t) \rangle$$

根據定義，波動自相關函數：

$$R_{nn}(\tau) = \langle X_n(t) X_n^*(t - \tau) \rangle$$

代入波動量：

$$R_{nn}(\tau) = \left\langle \left[  \sum_{k=1}^{N} h(t - t_k) - \langle X(t) \rangle \right] \left[  \sum_{m=1}^{N} h(t - \tau - t_m) - \langle X(t) \rangle \right]^* \right\rangle$$

Step 1: 展開乘積項

展開後可得到四個部分：

$$R_{nn}(\tau) = \underbrace{\left\langle \sum_{k=1}^{N} \sum_{m=1}^{N} h(t-t_k) h^*(t-\tau-t_m) \right\rangle}_{\text{Term 1}} - \underbrace{\langle X(t) \rangle^* \left\langle \sum_{k=1}^{N} h(t-t_k) \right\rangle}_{\text{Term 2}} - \underbrace{\left\langle X(t) \right\rangle \left\langle \sum_{m=1}^{N} h^*(t-\tau-t_m) \right\rangle}_{\text{Term 3}} + \underbrace{|\langle X(t) \rangle|^2}_{\text{Term 4}}$$

Step 2: 處理線性項與常數項 (Term 2, 3)

由於 $\left\langle \sum_{k=1}^{N} h(t-t_k) \right\rangle = \langle X(t) \rangle$ 且 $\left\langle \sum_{m=1}^{N} h^*(t-\tau-t_m) \right\rangle = \langle X(t-\tau) \rangle^* = \langle X(t) \rangle^*$我們可以簡化Term 2和Term 3：

  • $\text{Term 2} = -\langle X(t) \rangle^* \cdot \langle X(t) \rangle = -|\langle X(t) \rangle|^2$

  • $\text{Term 3} = -\langle X(t) \rangle \cdot \langle X(t) \rangle^* = -|\langle X(t) \rangle|^2$

Step 3: 處理雙重加總項 (Term 1)

這是證明的核心，可拆分為「相同項 ($k=m$)」與「相異項 ($k \neq m$)」：

$$\text{Term 1} = \left\langle \sum_{k=1}^{N} h(t-t_k) h^*(t-\tau-t_k) \right\rangle + \left\langle \sum_{k \neq m} h(t-t_k) h^*(t-\tau-t_m) \right\rangle$$

  1. 相同項 ($k=m$)：

    脈波與位移後的自己相乘。在 $T \to \infty$ 且脈波相乘能量有限的情形下，利用在時間 $T$ 內均勻分佈的機率密度 $1/T$：

    $$\begin{gathered} \left\langle \sum_{k=1}^{N} h(t-t_k) h^*(t-\tau-t_k) \right\rangle = \langle N \rangle \cdot  \left\langle h(t-t_k) h^*(t-\tau-t_k) \right\rangle \\ = \lambda T \cdot \frac{1}{T} \int_{-\infty}^{\infty} h(t-x)h^*(t-\tau-x) dx = \lambda \int_{-\infty}^{\infty} h(u)h^*(u-\tau) du \end{gathered}$$

  2. 相異項 ($k \neq m$)：

    由於不同脈波發生的時間點 $t_k, t_m$ 彼此獨立，期望值可拆解。這裡共有 $N^2 - N = N(N-1)$ 項，再利用 $\langle N(N-1) \rangle = (\lambda T)^2$ 的特性[註1]：

    $$\begin{gathered} \left\langle \sum_{k \neq m} h(t-t_k) h^*(t-\tau-t_m) \right\rangle = \langle N(N-1) \rangle \cdot  \left\langle h(t-t_k) \right\rangle \left\langle h^*(t-\tau-t_m) \right\rangle \\ = (\lambda T)^2 \cdot \frac{1}{\lambda T} \langle X(t) \rangle \cdot \frac{1}{\lambda T} \langle X(t) \rangle^* = |\langle X(t) \rangle|^2 \end{gathered}$$

Step 4: 最終合併

將所有項次帶回 $R_{nn}(\tau)$：

$$R_{nn}(\tau) = \left[ \lambda \int_{-\infty}^{\infty} h(u)h^*(u-\tau) du + |\langle X(t) \rangle|^2 \right] - |\langle X(t) \rangle|^2 - |\langle X(t) \rangle|^2 + |\langle X(t) \rangle|^2$$
$$R_{nn}(\tau) = \lambda \int_{-\infty}^{\infty} h(t)h^*(t-\tau) dt$$

四. 變異數 $Var(X)$ 的證明

根據變異數定義：

$$Var(X) = \left| X(t) - \langle X(t) \rangle \right|^2 = \left\langle \left[  \sum_{k=1}^{N} h(t - t_k) - \langle X(t) \rangle \right] \left[  \sum_{m=1}^{N} h(t - t_m) - \langle X(t) \rangle \right]^* \right\rangle$$

這相當於：

$$Var(X) = R_{nn}(0) = \lambda \int_{-\infty}^{\infty} |h(t)|^2 dt$$

總結

坎貝爾定理的優美之處在於，它揭示了隨機序列的統計矩（Statistical Moments）與單個脈波幾何特性的對應關係：

  • 一階動差（平均值）：對應脈波的積分面積。

  • 二階中心動差（變異數）：對應脈波平方的積分面積。

這種對應關係之所以成立，核心在於脈波發生的獨立性。

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[註1]：https://rftamt2.blogspot.com/2026/01/blog-post.html


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