卜瓦松分佈的期望值與變異數

 在隨機過程與雜訊分析（如 Shot Noise）的研究中，卜瓦松分佈 (Poisson Distribution) 扮演了核心角色。它最令人著迷的特性莫過於：其期望值與變異數在數值上是完全相等的。

今天，我們就從定義出發，透過簡單的級數運算來證明這個物理直覺背後的數學公式。

一.卜瓦松分佈的定義

假設隨機變數 $N$ 代表在特定時間 $T$ 或空間內事件發生的次數，其機率質量函數（PMF）定義為：

$$P(N=k) = \frac{\mu^k e^{-\mu}}{k!}, \quad k = 0, 1, 2, \dots$$

這裡的 $\mu$ 是分佈的參數（通常等於平均發生率 $\lambda$ 乘以時間 $T$，即期望值，以下證明）。

二. 證明期望值 $\langle N \rangle = \mu$

期望值 $\langle N \rangle$ 是所有可能結果的加權平均。根據定義：

$$\langle N \rangle = \sum_{k=0}^{\infty} k \cdot P(N=k) = \sum_{k=0}^{\infty} k \cdot \frac{\mu^k e^{-\mu}}{k!}$$

  • 當 $k=0$ 時，項值為 $0$，故加總可從 $k=1$ 開始。

  • 利用階乘特性 $k/k! = 1/(k-1)!$：

    $$\langle N \rangle = e^{-\mu} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\mu^k}{(k-1)!}$$

  • 提取出一個 $\mu$，並令變數轉換 $m = k-1$：

    $$\langle N \rangle = \mu e^{-\mu} \sum_{m=0}^{\infty} \frac{\mu^m}{m!}$$

  • 由於 $\sum_{m=0}^{\infty} \frac{\mu^m}{m!}$ 正是 $e^\mu$ 的泰勒展開式，因此：

    $$\langle N \rangle = \mu e^{-\mu} \cdot e^\mu = \mu$$

    結論一：期望值等於參數 $\mu$。

三. 證明變異數 $Var(N) = \mu$

變異數的公式為[註1]：$Var(N) = \langle N^2 \rangle - \langle N \rangle^2$。

為了簡化運算，我們先計算階乘動差（Factorial Moment） $\langle N(N-1) \rangle$：

$$\langle N(N-1) \rangle = \sum_{k=0}^{\infty} k(k-1) \frac{\mu^k e^{-\mu}}{k!}$$

  • 當 $k=0$ 與 $k=1$ 時，項值均為 $0$，故加總可從 $k=2$ 開始。

  • 利用特性 $k(k-1)/k! = 1/(k-2)!$：

    $$\langle N(N-1) \rangle = e^{-\mu} \sum_{k=2}^{\infty} \frac{\mu^k}{(k-2)!}$$

  • 提取出 $\mu^2$，並令變數轉換 $m = k-2$：

    $$\langle N(N-1) \rangle = \mu^2 e^{-\mu} \sum_{m=0}^{\infty} \frac{\mu^m}{m!} = \mu^2 e^{-\mu} \cdot e^\mu = \mu^2$$

現在我們可以展開 $\langle N^2 \rangle$：

$$\langle N^2 \rangle = \langle N(N-1) + N \rangle = \langle N(N-1) \rangle + \langle N \rangle = \mu^2 + \mu$$

最後，代入變異數公式：

$$Var(N) = (\mu^2 + \mu) - \mu^2 = \mu$$

結論二：變異數也等於參數 $\mu$。

三. 這對物理學意味著什麼？

這個數學特性在電子工程中有極大的物理意義。以**散粒雜訊（Shot Noise）**為例：

  1. 期望值 $\langle N \rangle$ 決定了我們觀測到的直流電流大小 $I$。

  2. 變異數 $Var(N)$ 則決定了電流的隨機起伏，即雜訊功率。

因為 $\langle N \rangle = Var(N)$，這告訴我們：只要有電流流過，就必然存在與電流強度成正比的雜訊。 這不是因為儀器不夠精密，而是電荷離散本質（一顆顆電子）帶來的統計必然結果。

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[註1]：https://rftamt2.blogspot.com/2026/01/varx-langle-x2-rangle-langle-x-rangle2.html


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