變異數等於「平方的期望」減去「期望的平方」

在處理隨機變數時，我們最常需要計算的統計參數之一就是變異數（variance）。雖然定義式很直觀，但在實際計算時，我們更傾向於使用「平方的期望值減去期望值的平方」。

以下將證明這個公式：

$$Var(X) = \langle X^2 \rangle - \langle X \rangle^2$$

（變異數 = 「平方的期望」減去「期望的平方」）

1. 準備工作：核心概念

在開始推導前，我們要先記住期望值運算的兩個基本特性：

1. 線性特質：項與項之間可以拆解計算。

2. 常數特質：一旦取了期望值，$\langle X \rangle$ 就變成了一個固定的常數，不再是隨機變數。

2. 證明步驟

我們從變異數的原始定義出發：變異數是變數與平均值（期望值）之間距離平方的平均。

1) 寫出定義式

$$Var(X) = \langle (X - \langle X \rangle)^2 \rangle$$

2) 展開括號內的平方項

利用代數公式 $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$，我們可以將內部展開：

$$Var(X) = \langle X^2 - 2X \cdot \langle X \rangle + \langle X \rangle^2 \rangle$$

3) 利用線性性質拆解

將期望值符號 $\langle \rangle$ 分配到括號內的每一項：

$$Var(X) = \langle X^2 \rangle - \langle 2X \cdot \langle X \rangle \rangle + \langle \langle X \rangle^2 \rangle$$

4) 處理常數項（關鍵步驟！）

• 第二項：因為 $2$ 和 $\langle X \rangle$ 都是常數，可以提到符號外面。

  $$\langle 2X \cdot \langle X \rangle \rangle = 2 \cdot \langle X \rangle \cdot \langle X \rangle = 2\langle X \rangle^2$$

• 第三項：由於 $\langle X \rangle^2$ 本身已經是常數，常數的期望值就是它自己。

  $$\langle \langle X \rangle^2 \rangle = \langle X \rangle^2$$

5) 合併同類項

將簡化後的結果拼湊回去：

$$Var(X) = \langle X^2 \rangle - 2\langle X \rangle^2 + \langle X \rangle^2$$

最後簡化得到：

$$Var(X) = \langle X^2 \rangle - \langle X \rangle^2$$

完成證明！