RF theory, analysis and measurement techniques (2)

在數據分析的世界裡，我們經常問一個問題：「現在發生的事，跟過去有關聯嗎？」要回答這個問題，最強大的工具就是 自相關函數 (autocorrelation function) 。 一. 什麼是自相關？（從「相似度」出發） 想像你在聽一段旋律，如果這段旋律每隔 4 拍就重複一次，我們會說它有很強的相關性。自相關就是在衡量一個訊號 $x(t)$ 與它自己延遲（Lag）一段時間 $\tau$ 後的 相似程度 。 對於廣義平穩過程（WSS，wide-sense stationary），自相關僅取決於 時間差 $\tau$ ，而與絕對時間 $t$ 無關。 A. 集合平均定義 (ensemble average) — 理論視角 對於廣義平穩過程（WSS，wide-sense stationary），集體平均的自相關函數定義為： $$R_{xx}(\tau) = \langle x(t) x^*(t-\tau) \rangle$$ 這反映了所有樣本路徑的隨機變數 $x$ 在任何時間點 $ t $ 與 $ t-\tau $ （相隔 $\tau$ 距離）之間的統計關聯性。 B. 時間平均定義 (time average) — 實務視角 當平穩過程具備遍歷性 (ergodicity) 時，我們可以用（任一樣本路徑下）一段足夠長的觀測數據來計算： $$r_{xx}(\tau) = \lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} x(t) x^*(t-\tau) \, dt$$ 也就是說：將訊號平移 $\tau$，然後與原訊號相乘並累加。如果數值愈高，代表重合度越高，訊號的自我重複性越強。 二. 能量的縮放：自共變異數 (auto-covariance) 自相關函數雖然好用，但它包含了訊號的「平均值」。在統計學中，我們通常更關心「波動」本身的關聯。 當我們把訊號扣除平均值 $\mu$（$ = \langle x \rangle$）後再做自相關，得到的就叫自共變異數 ($\gamma_{xx}$)： $$\gamma_{xx}(\tau) =  \left\langle (x(t) - \mu) \cdot (x(t-\tau) - \mu)^* \right\rangle$$ 這就像是把自相關函數「平移」到以零為中心，專注於描...

能量均分定理（Equipartition theorem） 是統計力學中的一個核心理論。它的核心思想非常直覺：在一個處於 熱平衡 的系統中，系統整體的熱能（由溫度 $T$ 決定）會 平均地分配 給每一個「自由度」（Degree of Freedom）。熱力學中的均分定理有一個適用的前提：能量必須能表達為變數的平方項（Quadratic Form）。 力學系統 ：動能是 $\frac{1}{2}mv^2$ ，位能是 $\frac{1}{2}kx^2$ 。這裡的 $v$ 和 $x$ 就是熱力學的維度（自由度）。 電磁系統 ：電感儲能是 $\frac{1}{2}LI^2$ ，電容儲能是 $\frac{1}{2}CV^2$ 。這裡的  $I$  和  $V$  就相當於熱力學的維度（自由度）[註1]。 1. 證明 對於一個處於溫度 $T$ 的系統，若某個能量為 $E$ 的狀態（自由度）之出現機率正比於 $e^{-E/kT}$（ 波茲曼分佈）。 此外，假設該自由度的能量符合二次項 $E = ax^2$ 形式 ，那麼這個自由度的 能量期望值   $\langle E \rangle$ 就是對所有可能的 $x$ 進行加權平均： $$\langle E \rangle = \frac{\int_{-\infty}^{\infty} (ax^2) e^{-ax^2/kT} dx}{\int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^2/kT} dx}$$ 利用高斯積分（Gaussian Integral），可得到[註2]： $$\langle E \rangle = \frac{1}{2}kT$$ 2. 失效時機 失效發生在物理學從「古典」跨越到「量子」的時刻： 連續性假設： 能量均分定理假設能量 $ax^2$ 是連續的。 量子化限制： 在微觀世界，能量是階梯狀的（如 $E = n \cdot hf$ ）。如果階梯的高度 $hf$ 遠大於熱能 $kT$ ，系統無法到達最低的階梯高度，$\langle E \rangle$ 會趨近於 0  （自由度凍結）。 [註1]： 在熱力學眼中， $I$ （電流）跟速度 $v$ 是一樣的， $V$ （電壓）跟位移 $x$ 是一樣的。只要能量形式是...