散粒雜訊PSD的推導

以下將利用坎貝爾定理 (Campbell's Theorem)，證明散粒雜訊 (Shot Noise)的PSD。

透過坎貝爾定理，我們不需要複雜的量子力學，就能從「電子是顆粒化的」與「到達時間是隨機的（卜瓦松過程）」這兩個簡單假設，推導出散粒雜訊的功率。

一. 物理模型：電子流的隨機性

想像電流 $I(t)$ 是由一顆顆隨機到達的電子所組成。每個電子的電荷為 $q$，當它通過觀測點時，會產生一個微小的電流脈波 $h(t)$。

根據物理連續性，單個電子產生的總電荷必須等於 $q$：

$$\int_{-\infty}^{\infty} h(t) \, dt = q$$

因此，總電流可以寫成：

$$I(t) = \sum_{k=1}^{N} h(t - t_k)$$

這完全符合我們在「坎貝爾定理」中定義的系統模型。

二. 平均電流與直流成分

根據坎貝爾定理的「期望值公式」，平均電流 $\langle I \rangle$（即直流電流 $I_{DC}$）為：

$$I_{DC} = \langle I(t) \rangle = \lambda \int_{-\infty}^{\infty} h(t) \, dt = \lambda q$$

其中 $\lambda$ 是單位時間內通過的電子數。

三、 散粒雜訊的功率譜密度 (PSD)

我們關心的是電流波動 $I_n(t) = I(t) - I_{DC}$ 的頻譜特性。

1. 自相關函數的回顧

由坎貝爾定理可知，波動的自相關函數 $R_{nn}(\tau)$ 為：

$$R_{nn}(\tau) = \lambda \int_{-\infty}^{\infty} h(t) h^*(t-\tau) \, dt$$

觀察這個公式，你會發現 $R_{nn}(\tau)$ 其實就是脈波函數 $h(t)$ 與其共軛反轉函數 $h^*(-t)$ 的卷積 (Convolution) 乘以 $\lambda$。

2. 維納-辛欽定理 (Wiener–Khinchin Theorem)

功率譜密度 $C_{shot}(f)$ 是自相關函數的傅立葉轉換。根據卷積定理：

$$C_{shot}(f) = \mathcal{F} \{ R_{nn}(\tau) \} = \lambda \cdot |H(f)|^2$$

其中 $H(f)$ 是單個電子脈波 $h(t)$ 的傅立葉轉換。

3. 極限狀況：理想散粒雜訊

在低頻段或當電子脈波極短（趨近於狄拉克 $\delta$ 函數）時，脈波 $h(t) \approx q\delta(t)$。此時，其傅立葉轉換 $H(f) \approx q$。

代入 PSD 公式：

$$C_{shot}(f) = \lambda \cdot q^2$$

再利用 $I_{DC} = \lambda q$ 進行代換：

$$C_{shot}(f) = q I_{DC} \quad (\text{單位為 } A^2/Hz)$$

四. 實務上的單邊頻譜 (Single-Sided PSD)

在物理實驗與工程計算中，我們通常只考慮正頻率（$f > 0$）。由於實數信號的頻譜是對稱的，單邊頻譜 $S_{shot}(f)$ 為雙邊頻譜的兩倍：

$$S_{shot}(f) = 2 \cdot C_{shot}(f) = 2 q I_{DC}$$

這就是著名的 Schottky 公式。

從公式可以看出，在 $H(f)$ 保持平坦的頻率範圍內，$S_{II}(f)$ 是一個常數。這意味著在極廣的頻譜內，雜訊功率均勻分佈，就像白光包含所有頻率的色光一樣，因此稱為白雜訊 (White Noise)。

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