朗之萬方程式（Langevin equation）

在物理學與隨機過程的研究中，朗之萬方程（Langevin equation） 是一個極具魅力的存在。它不僅描述了懸浮微粒在流體中的布朗運動，更是電子工程中處理產生-復合雜訊（G-R noise） 的數學核心。

一. 什麼是朗之萬方程？

想像一個在液體中受力跳動的彈簧，或是半導體中不斷波動的電子數量。朗之萬方程將系統的變化拆解為兩個部分：確定的回歸力與隨機的推動力。

其標準形式如下：

$$\frac{dx(t)}{dt} = -\frac{x(t)}{\tau} + F(t)$$

  • $x(t)$：系統偏離平衡態的分量（例如 $\Delta N$）。

  • $-x(t)/\tau$：耗散項（dissipation）。$\tau$ 是鬆弛時間，代表系統想回到平衡態的趨勢。

  • $F(t)$：隨機力（Langevin force）。它代表微觀環境產生的衝擊。其特點是平均值為零 $\langle F(t) \rangle = 0$，且不同時間點的衝擊互不相關。

二. 方程的通解：過去與未來的交織

要解這個一階線性微分方程，我們使用積分因子 $e^{t/\tau}$。經過推導，我們可以得到 $t+s$ 時刻的狀態解[註1]：

$$x(t+s) = x(t)e^{-s/\tau} + \int_{t}^{t+s} F(t') e^{-(t+s-t')/\tau} dt'$$

這個解告訴我們，未來的狀態由兩部分決定：

  1. 記憶部分：現在的狀態 $x(t)$ 會隨著時間指數衰減。

  2. 新擾動部分：從 $t$ 到 $t+s$ 這段時間內，所有新發生的隨機衝擊 $F(t')$ 的累積效果。

三. 自相關函數 (autocorrelation) 的推導

自相關函數 $R_x(s) = \langle x(t)x^*(t-s) \rangle$ 衡量的是系統在時間差 $s$ 之下，前後狀態的關聯程度。為了推導這個函數，我們將結合朗之萬方程的通解與隨機過程的平穩性。

Step 1: 代入通解

考慮 $s > 0$ 的情況。根據微分方程，我們將「現在時刻 $t$」的狀態 $x(t)$，表示為「過去時刻 $t-s$」的狀態與這段時間內「隨機衝擊」的累積：

$$x(t) = x(t-s)e^{-s/\tau} + \int_{t-s}^{t} F(t') e^{-(t-t')/\tau} dt'$$

將此式代入自相關函數的定義中：

$$R_x(s) = \langle x(t)x^*(t-s) \rangle = \left\langle \left[ x(t-s)e^{-s/\tau} + \int_{t-s}^{t} F(t') e^{-(t-t')/\tau} dt' \right] x^*(t-s) \right\rangle$$

Step 2: 展開期望值

利用期望值的線性性質，我們可以將括號展開：

$$R_x(s) = \langle x(t-s) x^*(t-s) \rangle e^{-s/\tau} + \left\langle \int_{t-s}^{t} F(t') x^*(t-s) e^{-(t-t')/\tau} dt' \right\rangle$$
$$R_x(s) = \langle |x|^2 \rangle e^{-s/\tau} + \int_{t-s}^{t} \langle F(t') x^*(t-s) \rangle e^{-(t-t')/\tau} dt'$$

Step 3: 利用因果律 (Causality)

這是推導中最關鍵的一步。在積分區間中，$t'$ 介於 $t-s$ 與 $t$ 之間。這意味著隨機力 $F(t')$ 是發生在 $t-s$ 時刻之後的衝擊。

  • 根據因果律：過去的狀態 $x^*(t-s)$ 不可能預知未來的隨機擾動 $F(t')$。

  • 因此，對於所有 $t' > t-s$，兩者是不相關的，即 $\langle F(t') x^*(t-s) \rangle = 0$。這導致整個積分項消失。（$t' = t-s$ 該處具有單點免疫性）

Step 4: 得到結果與對稱性擴展

對於 $s > 0$，我們得到：

$$R_x(s) = \langle |x|^2 \rangle e^{-s/\tau}$$

考慮到平穩複數隨機過程具有共軛對稱性 $R_x(s) = R_x^*(-s)$：

  1. 若系統為實數系統（如 G-R 雜訊中的載子數），則 $R_x(s)$ 為實數且滿足 $R_x(s) = R_x(-s)$。

  2. 為了涵蓋 $s < 0$ 的情況，我們統一使用絕對值來表達時間差。

最終公式為：

$$R_x(s) = \langle |x|^2 \rangle e^{-|s|/\tau}$$

結語

朗之萬方程優雅地結合了確定性的耗散與隨機性的漲落。它告訴我們，即便微觀世界充滿了混亂的隨機力，只要我們觀察其統計特性（如自相關函數），依然能找到極其整齊、美麗的規律。

💥💥💥💥💥

[註1]：

這是一個經典的一階線性非齊次微分方程的求解過程。我們通常使用積分因子法（Integrating factor method）來導出這個結果。

以下是詳細的數學推導步驟：

1. 整理方程式

原始的朗之萬方程為：

$$\frac{dx(t)}{dt} + \frac{1}{\tau}x(t) = F(t)$$

這符合標準形式 $\frac{dx}{dt} + P(t)x = Q(t)$，其中 $P(t) = \frac{1}{\tau}$ 是一個常數。

2. 尋找積分因子

積分因子 $\mu(t)$ 的定義為：

$$\mu(t) = e^{\int P(t') dt'} = e^{\int \frac{1}{\tau} dt'} = e^{t/\tau}$$

將方程式左右兩邊同時乘以 $e^{t/\tau}$：

$$e^{t/\tau} \frac{dx(t)}{dt} + \frac{1}{\tau} e^{t/\tau} x(t) = e^{t/\tau} F(t)$$

觀察等號左邊，這正好是乘積微分法則（product rule）的展開：

$$\frac{d}{dt} \left[ x(t) e^{t/\tau} \right] = e^{t/\tau} F(t)$$

3. 在給定時間區間內積分

為了求出從 $t$ 到 $t+s$ 之間系統的變化，我們對上述方程兩邊進行定積分（為了區分變數，我們使用 $t'$ 作為積分變數）：

$$\int_{t}^{t+s} \frac{d}{dt'} \left[ x(t') e^{t'/\tau} \right] dt' = \int_{t}^{t+s} F(t') e^{t'/\tau} dt'$$

根據微積分基本定理，左邊積分後的結果為：

$$\left[ x(t') e^{t'/\tau} \right]_{t}^{t+s} = x(t+s) e^{(t+s)/\tau} - x(t) e^{t/\tau}$$

所以我們得到：

$$x(t+s) e^{(t+s)/\tau} - x(t) e^{t/\tau} = \int_{t}^{t+s} F(t') e^{t'/\tau} dt'$$

4. 移項並整理

現在我們要解出 $x(t+s)$，將所有項乘以 $e^{-(t+s)/\tau}$：

$$x(t+s) = x(t) e^{t/\tau} \cdot e^{-(t+s)/\tau} + e^{-(t+s)/\tau} \int_{t}^{t+s} F(t') e^{t'/\tau} dt'$$

利用指數律 $e^{t/\tau} \cdot e^{-(t+s)/\tau} = e^{(t-t-s)/\tau} = e^{-s/\tau}$，並且將積分號外的指數項移入積分號內（因為它相對於 $t'$ 是常數）：

$$x(t+s) = x(t) e^{-s/\tau} + \int_{t}^{t+s} F(t') e^{t'/\tau} \cdot e^{-(t+s)/\tau} dt'$$
也就是：

$$x(t+s) = x(t) e^{-s/\tau} + \int_{t}^{t+s} F(t') e^{-(t+s-t')/\tau} dt'$$

留言

張貼留言

這個網誌中的熱門文章

二項、卜瓦松PMF與高斯PDF

圖片
在統計學的世界裡，三個最核心的數學模型： 二項分佈 、 卜瓦 松分佈 與 高斯分佈 。它們之間並非孤立，而是一場關於「極限」的華麗演變。 1. 二項分佈 (binomial distribution)：發生的計數 一切的起點是 伯努利試驗 （只有發生/未發生兩種結果）。當你重複進行 $n$ 次獨立的實驗，在每次發生與未發生的機率分別固定為 $p$ 和 $q$ ( $= 1-p$ ) 的情形下，則總發生次數為  $k$  的機率 $P(k)$ 所服從的規律就是「二項分佈」機率質量函數（PMF，probability mass function）： $$P( k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$$ 其中 [註1]： 期望值  $\mu = \langle k \rangle = np$ 變異數  $\sigma^2 = Var(k) = npq$ 2. 卜瓦松分佈 (Poisson distribution)：加入時間的框架 若我們將 二項分佈限定 在特定時間  $T$ 或空間內，當 試驗次數 $n$ 趨於無窮大且假設發生率 $p$ 非常小，但兩者的乘積或期望值 $\mu = np$（發生次數的期望值， 等於平均發生率 $\lambda$  乘以時間   $T$ ）保持穩定時，二項分佈就會演變成卜瓦 松分佈，對應的 PMF[註2]如下： $$P(k) = \frac{\mu^k e^{-\mu}}{k!}$$ 它是描述「特定時間或空間內，隨機事件發生次數機率」的最佳工具。 3. 高斯分佈 (Gaussian distribution)： 試驗次數夠大 當 試驗次數  $n$  趨於無窮大時，二項分佈將變成高斯分佈或常態分佈（normal distribution），機率 的數學描述必須如下改由連續的 機率 密度函數 （PDF，probability density function）[註3]來表示： $$f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}$$ 特點 ：由期望值 ( $\mu$ ) 和標準差 ( $\s...
閱讀完整內容

變異數等於「平方的期望」減去「期望的平方」

在處理隨機變數時，我們最常需要計算的統計參數之一就是 變異數（variance） 。雖然定義式很直觀，但在實際計算時，我們更傾向於使用「平方的期望值減去期望值的平方」。 以下將證明這個公式： $$Var(X) = \langle X^2 \rangle - \langle X \rangle^2$$ （ 變異數 = 「平方的期望」減去「期望的平方」 ） 1. 準備工作：核心概念 在開始推導前，我們要先記住期望值運算的兩個基本特性： 線性特質 ：項與項之間可以拆解計算。 常數特質 ：一旦取了期望值， $\langle X \rangle$ 就變成了一個固定的 常數 ，不再是隨機變數。 2. 證明步驟 我們從變異數的原始定義出發：變異數是變數與平均值（期望值）之間距離平方的平均。 1) 寫出定義式 $$Var(X) = \langle (X - \langle X \rangle)^2 \rangle$$ 2) 展開括號內的平方項 利用代數公式 $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$，我們可以將內部展開： $$Var(X) = \langle X^2 - 2X \cdot \langle X \rangle + \langle X \rangle^2 \rangle$$ 3) 利用線性性質拆解 將期望值符號 $\langle \rangle$ 分配到括號內的每一項： $$Var(X) = \langle X^2 \rangle - \langle 2X \cdot \langle X \rangle \rangle + \langle \langle X \rangle^2 \rangle$$ 4) 處理常數項（關鍵步驟！） 第二項：因為 $2$ 和 $\langle X \rangle$ 都是常數，可以提到符號外面。 $$\langle 2X \cdot \langle X \rangle \rangle = 2 \cdot \langle X \rangle \cdot \langle X \rangle = 2\langle X \rangle^2$$ 第三項：由於 $\langle X \rangle^2$ 本身已經是常數，常數的期望值就是它自己。 $$\langle \langle X \rangle^2 \rangle = \langl...
閱讀完整內容

坎貝爾定理 (Campbell's theorem)

在隨機過程與雜訊分析中，坎貝爾定理是將「微觀隨機事件」轉化為「宏觀統計特性」最強大的工具。本文將透過機率論與微積分，完整推導其期望值、自相關函數與變異數公式。 一. 系統模型定義 假設有一個隨機過程 $X(t)$ ，它是無數個形狀相同的隨機脈波函數 $h(t)$ 的疊加： $$X(t) = \sum_{k=1}^{N} h(t - t_k)$$ 其中： $t_k$ 是第 $k$ 個脈波發生的隨機時間點。 在觀測時間 $T$ 內，事件發生的總次數 $N$ 是一個隨機變數，若服從 卜瓦松分佈 ，則  $\langle N \rangle = \mu = \lambda T$ 。 在給定 $N$ 的情況下，每個 $t_k$ 獨立且均勻地分佈在 $[0, T]$ 區間內。 二. 期望值 $\langle X(t) \rangle$ 的證明 我們利用全期望值定律，先計算給定 $N$ 次事件中各次的期望值，再計入總次數  $N$  的期望值。 Step 1: 單個脈波在隨機位置出現的期望值 假設 $t_k$ 在 $[-T/2, T/2]$ 隨機均勻分佈，在 $T \to \infty$ 且脈波能量有限的情形下，任意單個隨機脈波的期望值： $$\langle h(t-t_k) \rangle = \int_{-T/2}^{T/2} h(t-x) \cdot p(x) \, dx = \frac{1}{T} \int_{-\infty}^{\infty} h(t-x) \, dx = \frac{1}{T} \int_{-\infty}^{\infty} h(u) \, du$$ Step 2: 考慮總次數 $N$ 的期望值 $$\langle X(t) \rangle = \left \langle \sum_{k=1}^{N} h(t - t_k) \right \rangle = \langle N \rangle \cdot \langle h(t-t_k) \rangle = \langle N \rangle \cdot \left( \frac{1}{T} \int_{-\infty}^{\infty} h(x) \, dx \right)$$ Step 3: 代入 $N$ 的期望值：$\l...
閱讀完整內容