熱雜訊功率譜密度（PSD）的推導

在通訊工程中，熱雜訊功率 $kTB$ 決定了信號接收的極限。這個簡潔的公式並非憑空而來，而是電磁學與統計力學完美結合的產物。讓我們透過傳輸線的兩種狀態，徹底釐清其背後的物理脈絡。

一、 能量容器：兩端短路下的駐波儲能

首先，想像一條長度為 $L$、溫度為 $T$ 且特徵阻抗為 $R$ 的無損傳輸線。我們將其兩端短路，創造出一個封閉的諧振腔。

1. 模式計數 (Mode Counting)

由於兩端短路的邊界條件（電壓必為零），在熱平衡下，只有特定頻率的駐波能在此存在。在頻寬 $B$ 內，合法的振動模式數量為[註1]：

$$N = \frac{2L}{v}B$$

這代表了系統中可以容納能量的「駐波」數量。

2. 自由度與能量均分

理想傳輸線本質上是由無數微小的電感 ($L$) 與電容 ($C$) 組成。對於每一個模式（駐波），它都具備兩個能量自由度：

  • 磁能：儲存於電感中的 $\frac{1}{2}LI^2$

  • 電能：儲存於電容中的 $\frac{1}{2}CV^2$

根據統計力學，每個自由度分配到 $\frac{1}{2}kT$[註2]。因此，每個模式的平均能量為：

$$\langle E \rangle_{mode} = \frac{1}{2}kT (\text{電}) + \frac{1}{2}kT (\text{磁}) = kT$$

傳輸線內部的總儲存能量即為：

$$\langle E \rangle_{total} = N \cdot \langle E \rangle_{mode}  = \frac{2L}{v}BkT$$

二、 能量釋放：兩端接上電阻 $R$ 的動態平衡

現在，我們撤掉兩端的短路，兩端皆換成溫度同樣為 $T$ 且阻值為 $R$ 的電阻器。此時系統變為開放狀態，能量開始流動，但因為各處溫度皆為 $T$ ，所以整個系統處於熱平衡狀態。

1. 駐波的拆解與對稱流動

原本穩定的駐波可以拆解為兩股方向相反的行進波。由於傳輸線處於匹配，向兩側流出的能量會無反射地全數流出。

  • 單向能量：總能量的一半（$\langle E \rangle_{total} / 2$）向左流，另一半向右流。

  • 功率流動：能量流出傳輸線所需的時間為 $\tau = L/v$。因此，向單一方向流出的功率為：

    $$\langle P \rangle = \frac{\langle E \rangle_{total} / 2}{\tau} = \frac{\frac{L}{v}BkT}{L/v} = kTB$$

2. 熱平衡的維持

在熱平衡下，左側電阻吸收了來自線路的能量，同時也必須「發射」等量的能量流回線路。這意味著：單一電阻向外輸出的熱雜訊功率，在匹配狀態下精確地等於 $kTB$。

三、 最終結果：熱雜訊的功率譜密度 (PSD)

現在我們終於可以定義熱雜訊在頻域上的表現。

1. PSD 的誕生

功率譜密度 $S_n(f)$ 代表單位頻寬內的可用功率。由上述證明可知：

$$S_n(f) = \frac{P}{B} = \frac{kTB}{B} = kT$$

這解釋了為什麼熱雜訊被稱為「白雜訊」——其功率譜密度在轉角頻率（約 $6\text{ THz}$）以下是完全平坦的常量 $kT$。

2. 連結到可用雜訊功率

因為不論從哪個電阻的角度來看，電阻本身的阻抗與相應的負載阻抗相等，這個 $\langle P \rangle$ 對應到電路理論中的可用雜訊功率（available noise power）。當我們將該電阻的雜訊源以方均根大小為 $\langle v_n \rangle$ 的電壓源來表示時，它在匹配負載上所能傳遞的最大功率功率正是：

$$\langle P \rangle = \frac{\langle |v_n|^2 \rangle}{4R}$$

因此，可得：

$$\langle |v_n|^2 \rangle = 4R \cdot \langle P \rangle = 4R \cdot kTB$$

[註1]：

為什麼在頻寬 $B$ 內的模式數量是 $N = \frac{2L}{v}B$？

  • 邊界條件：因為兩端短路，電壓必須為零。這意味著線路長度 $L$ 必須剛好是半波長 ($\lambda/2$) 的整數倍。

    $$L = n \cdot \frac{\lambda}{2} \implies \lambda = \frac{2L}{n} \quad (n=1, 2, 3...)$$

  • 頻率離散化：將波長轉為頻率 ($f = v/\lambda$)：

    $$f_n = n \cdot \left( \frac{v}{2L} \right)$$

    這代表每隔 $\Delta f = \frac{v}{2L}$ 就會出現一個合法的振動「模式」。

  • 模式計數：在一個頻寬 $B$（即 $\Delta f_{total}$）內，能容納多少個這樣的模式？

    $$N = \frac{B}{\Delta f} = \frac{B}{v/2L} = \frac{2L}{v}B$$
[註2]：

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